“抛物线及其标准方程”教学案例
1、背景
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的，讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。。本课是高二数学§8.5的第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。抛物线的定义很简单但非常重要，学习时要注意和椭圆、双曲线的第二定义相联系，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备。由椭圆、双曲线、抛物线的定义可以看出，它们都是平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离之比为常数e的点的轨迹，随着e的变化，轨迹的图形发生变化，既可从中得到圆锥曲线的统一定义，又可对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。在由抛物线的定义导出它的标准方程时，可先让学生考虑怎样选择坐标系，在导出方程的过程中，设焦点到准线的距离是p，这就是抛物线方程中参数p的几何意义，所以p的值永远大于0。
1.2 数学情境的创设
前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？
与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？
师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。
1.3 教学目标
根据教学大纲和考试说明，结合数学情境的创设，确定本节课的素质教育目标是：
⑴知识教学目标：理解和掌握抛物线的定义与标准方程。
⑵能力训练目标：掌握抛物线的定义及其标准方程，掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系，培养学生数形结合、分类讨论、类比的思想。
⑶德育渗透目标：根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。
2 教学过程
2.1 创设情境
师：前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？
生：与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？
师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。
（通过几何画板的演示，由e的变化揭示课题，通过研究e的值，得到抛物线，再观察抛物线的点满足的条件，由学生归纳抛物线的定义，生动、直观。）
2.2 探索研究
1、 实验、演示，观察猜想。
几何画板课件演示：
学生观察 ① 动点M到焦点F的距离|MF|与动点M到定直线l的距离d之间的关系；② 观察追踪动点M得到的轨迹形状。
探索出当e ＝1时动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。
2、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
3、 求抛物线的标准方程。
师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程，过F作准线的垂线，垂足为K，设｜MK｜＝p，如何建立直角坐标系？
先让学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，从学生中归纳出以下几种解法，视频展台展出。
y2＝2px－p2（p＞0） y2＝2px＋p2（p＞0） y2＝2px （p＞0）
师：选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。
生：将方程y2＝2px （p＞0）叫做抛物线的标准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。
师：很好！我们把方程y2＝2px （p＞0）叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴的正半轴上，坐标是（p/2,0）,准线方程是x＝－p/2。
（Flash动画演示）
强调：① p的几何意义；
② 已知抛物线的标准方程y2＝2px （p＞0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；
③ 已知抛物线的焦点F（p/2 ，0）或准线方程x＝－p/2 （p＞0），迅速写出其标准方程。
练习：已知抛物线的标准方程是y2＝6x，则焦点坐标是________；准线方程是_____________。
生：焦点（3/2, 0），准线方程是x＝－3/2。
4、 讨论四种位置上的抛物线标准方程
利用Fash，设置一个旋转按钮将焦点在x轴正半轴上的抛物线逆时针旋转分别得到图形，由学生说出标准方程，焦点坐标及准线方程。
标准方程：y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
焦 点：F（－p/2,0） F（0，p/2） F（0，－p/2）
准线方程：x＝p/2 y＝－p/2 y＝p/2
师：观察上面的图与表格， 观察、归纳，寻找异同？
生：相同点
① 顶点为原点；
② 对称轴为坐标轴；
③顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为p（p＞0） 。
不同点
①一次项变量为x（或y），则焦点在x（或y）轴；若系数为正，则焦点在正半轴上，系数为负，则焦点在负半轴上；
② 焦点在x（或y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在x（或y）轴的负半轴上，开口向左（向下）。
（学生先归纳，师然后点评）
师：知道抛物线的标准方程，如何写出焦点坐标与准线方程？
生1：先确定焦点的位置，然后根据表格写出焦点坐标与准线方程。
生2：先观察方程的结构，若一次项变量为x，则焦点的横坐标是一次项系数的1/4，纵坐标为0；若一次项变量为y，则焦点的纵坐标是一次项系数的1/4，横坐标为0。
2.3 反思应用
例1 已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程.
生：因为焦点在y轴的负半轴上，并且F（0，－2）所以所求抛物线的标准方程是x2=－8y.
变：
⑴抛物线的标准方程是y2=－6x，则它的焦点坐标是＿，准线方程是＿＿＿；
生：焦点（－3/2,0），准线方程x＝3/2
⑵抛物线的标准方程是y=－x2/8，则它的焦点坐标是＿，准线方程是＿；
生：焦点（0，－2），准线方程x＝2
⑶抛物线的焦点F（0,3），则它的标准方程是________；
生：x2＝12y
⑷抛物线的准线方程是y＝3,则它的标准方程是＿＿＿＿＿＿；
生：x2＝－12y
⑸抛物线的焦点在x轴上，且过点（－3,2），则它的标准方程是_____；
生：由抛物线过点（－3,2），且焦点在x轴上，设方程为y2＝－2px（p＞0）,
将点（－3,2）代入方程得p＝－4/3，所以方程为y2＝－4x/3。
师：大家想一想，在椭圆（或双曲线）中，若椭圆（双曲线）经过两个点，求它的标准方程时，我们是如何设方程的？
生：一般化，设mx2＋ny2＝1（m＞0,n＞0）
师：这里能否一般化？
生2：能！∵抛物线的焦点在x轴上，∴设方程y2＝mx（m≠0）
将点（－3,2）代入方程得m＝－4/3，所以方程为y2＝－4x/3。
例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程
⑴过点（－3,2）；
生：设方程为y2＝mx（m≠0）或x2＝ny（n≠0），将点的坐标代入得
y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2
⑵焦点为直线l：2x＋y－4＝0与坐标轴的交点。
生：先求出直线与坐标轴的交点（2,0）或（0,4），故标准方程为y2 ＝8x或 x2＝16y
例3 点P（2,y）为抛物线y2＝8x上的一点，F是它的焦点，则|PF|＝______，y＝_____。
生：由抛物线y2＝8x知准线方程x＝－2，根据抛物线的定义知|PF|等于点P到准线的距离4，将点的坐标代入方程有y＝±4。
师：解决这类问题，首先心中要有一个图形，利用定义求解是关键。
变：若点Q为抛物线的一点，
⑴若|QF|＝4，则点Q的坐标是_________；
生：（2,±4）
⑵|QF|的最小值是_______；
生：2
⑶若A（3,4）,则|QA|＋|QF|的最小值是____，此时点Q的坐标是_______。
生：5；（2,4）
2.4 归纳总结
师：下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？
生：⑴抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及其相互联系；
⑵理解p的几何意义，即焦点到准线的距离，p＞0；
⑶掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。
师：用到了哪些数学思想方法：
生：坐标法、数形结合、待定系数法、定义法
师：一起观看表格，并填充（表在几何画板上）
3 回顾反思
这堂课受到听课教师和学生的好评，主要是因为把学习的主动权交给学生，利用几何画板创设情境，使得学习内容直观、生动，抓住解析几何的核心─数形结合。
3.1创设情境是上好课的基础
利用几何画板从学生已有的知识进行迁移，采用类比的方法让学生主动学习、合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。
3.2恰当引导学生提出数学问题
在上课前需要事先预想学生可能会提出的问题以及可能提出的解决方法，但是也不能忽视学生的发散思维，在讲授过程中并不是每一个环节都能按照教师预想的步骤进行，对于课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。比如，在如何建立直角坐标系求方程时，有一个学生提出以FK为y轴，FK的中垂线为x轴，虽然与我们的过程不一致，也要加以肯定与鼓励，其实从另一个角度来看，反而是一件好事，为我们后面谈其它三种形式埋下引子。
3.3 变式训练，提高学生解题能力与思维深度
在本例中，我们围绕例1进行变式训练，师生围绕几个典型问题展开了充分的讨论，学生在质疑、讨论、总结的过程中，理解了抛物线的定义与标准方程，形成了自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧源泉，实现了举一反三、触类旁通的效果。
3.4 教师的反思
虽然本节课基本体现了新课改的精神，培养学生积极参与的习惯，并运用多媒体进行辅助教学，但是仍存在不足之处，如：抛物线的定义“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.”从严格意义看是不严谨的，此时如设问“若定点F在定直线l上，则轨迹是什么呢？”可强化学生对抛物线的定义的理解；其次归纳总结时在深化一下，如“知道抛物线的标准方程，如何画抛物线的简图？”可引导学生课后有目的的预习，效果会更好；再次，如何根据学生发展的需要创造性的使用教材，学会灵活、能动地运用教材，根据学生的实际调整、增删教学内容，这几个方面还有许多值得改进的地方。
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